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<!DOCTYPE html>

<title>Globaler F-Test</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Globaler F-Test</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Der globale F-Test (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> Overall-F-Test), auch Globaltest, Gesamttest, Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells, F-Test der Gesamtsignifikanz, Test auf den Gesamtzusammenhang eines Modells<a href="#cite_note-Mosler310-1">[1]</a> stellt eine globale Prüfung der Regressionsfunktion dar. Es wird geprüft, ob mindestens eine Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert und das Modell somit als Gesamtes signifikant ist. Falls diese Hypothese verworfen wird, ist das Modell nutzlos. Diese Variante des <a href="F-Test" title="F-Test">F-Tests</a> ist die gebräuchlichste Anwendung des F-Tests.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zugrundeliegendes_Modell">Zugrundeliegendes Modell</h2></div>

Das zugrundeliegende Modell ist das der <a href="Lineare_Mehrfachregression" class="mw-redirect" title="Lineare Mehrfachregression">linearen Mehrfachregression</a>, also

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97287e70916365219a105b174a0e873d78ca8c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:54.527ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hierbei wird angenommen, dass die <a href="St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fe_und_Residuum" title="Störgröße und Residuum">Störgrößen</a> unabhängig und <a href="Homoskedastizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Homoskedastizität">homoskedastisch</a> sind und für sie gilt, dass sie einer Normalverteilung folgen, d. h.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}),\quad i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36742579721498d3880fc8bb5c99f733969e5852.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.64ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}),\quad i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Mosler310-1">[1]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Null-_und_Alternativhypothese">Null- und Alternativhypothese</h2></div>

Die <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy"> des globalen F-Tests sagt aus, dass alle erklärenden Variablen keinen Einfluss auf die abhängige Variable haben. Sowohl die abhängige Variable, als auch die unabhängigen Variablen können binär (<a href="Kategoriale_Variable" title="Kategoriale Variable">kategorial</a>) oder metrisch sein. Der <a href="Wald-Test" title="Wald-Test">Wald-Test</a> kann dann die globale Nullhypothese (ohne Einbezug des <a href="Regressionsparameter" title="Regressionsparameter">Absolutglieds</a>) testen:

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}\;=\;0\Rightarrow \rho ^{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2ff000550e2d2e5236dd5b3b499f6d622d9d8ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.865ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}\;=\;0\Rightarrow \rho ^{2}=0}" loading="lazy">  gegen  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\;\neq \;0\;\mathrm {f{\ddot {u}}r\;mindestens\;ein} \;j\in \{1,\ldots ,k\}\Rightarrow \rho ^{2}>0}">

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\;\neq \;0\;\mathrm {f{\ddot {u}}r\;mindestens\;ein} \;j\in \{1,\ldots ,k\}\Rightarrow \rho ^{2}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/992c60633b7085223120201e38cfc4cf6b302eb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:56.39ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\;\neq \;0\;\mathrm {f{\ddot {u}}r\;mindestens\;ein} \;j\in \{1,\ldots ,k\}\Rightarrow \rho ^{2}>0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieser Test lässt sich so interpretieren, als würde man die gesamte Güte der Regression, also das <a href="Populationsbestimmtheitsma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Populationsbestimmtheitsmaß">Populationsbestimmtheitsmaß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95b44a36e828a576858671546f5e0cb05806b742.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.256ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho ^{2}}" loading="lazy"> der Regression, testen. Aus diesem Grund wird der globale F-Test auch als <a href="Anpassungsg%C3%BCte" title="Anpassungsgüte">Anpassungsgüte</a>-Test bezeichnet. Die Bezeichnung Anpassungsgüte-Test ist allerdings etwas irreführend, da streng genommen nicht die Anpassung der Regressionsgerade an die Daten überprüft wird, sondern ob wenigstens einer der erklärenden Variablen einen signifikanten Erklärungsbeitrag liefert.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Bei Zutreffen der Nullhypothese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy"> ergibt sich das sogenannte <a href="Leeres_Modell" title="Leeres Modell">Nullmodell</a>. Das Nullmodell ist ein Modell, das nur aus einem Absolutglied <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> besteht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Teststatistik">Teststatistik</h2></div>

Die <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistik</a> dieses Tests bekommt man, wenn man zunächst die <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F#R-Quadrat-Schreibweise_der_F-Statistik" title="Bestimmtheitsmaß">R-Quadrat-Schreibweise der F-Statistik</a> betrachtet. Die allgemeine Form der <a href="F-Statistik" class="mw-redirect" title="F-Statistik">F-Statistik</a> ist gegeben durch<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\equiv {\frac {\left(SQR_{H_{0}}-SQR\right)/q}{SQR/(n-k-1)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/038ea5e70458115be80162b72af87fd43f217b6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.577ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle F\equiv {\frac {\left(SQR_{H_{0}}-SQR\right)/q}{SQR/(n-k-1)}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> die Anzahl der zu testenden Restriktionen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SQR_{H_{0}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQR_{H_{0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2de63b202a8ba43d6c758293382810a323aeb104.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.531ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle SQR_{H_{0}}}" loading="lazy"> <a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a> des eingeschränkten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SQR}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQR}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfa80c626b2b694beb750db466037260ccb65a9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.102ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle SQR}" loading="lazy"> die Residuenquadratsumme des uneingeschränkten Modells darstellt. Vorliegend werden, da die Nullhypothese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f7c538d81da1146ee775b66ea6cae84c320deb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.443ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}=0}" loading="lazy"> lautet, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/689eb8d31bbdabe99fbfa86d73a95ae03aeb0fbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.379ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=k}" loading="lazy"> Restriktionen getestet. Dadurch kann man die Teststatistik auch schreiben als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F={\frac {\left({\mathit {R}}{}^{2}-{\mathit {R}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/k}{\left(1-{\mathit {R}}{}^{2}\right)/(n-p)}}}">

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F={\frac {\left({\mathit {R}}{}^{2}-{\mathit {R}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/k}{\left(1-{\mathit {R}}{}^{2}\right)/(n-p)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b53968fe7930a819ad6172c33ac4ace1d9b101e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.999ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle F={\frac {\left({\mathit {R}}{}^{2}-{\mathit {R}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/k}{\left(1-{\mathit {R}}{}^{2}\right)/(n-p)}}}" loading="lazy"> und unter der Nullhypothese gilt<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}F={\frac {MQE}{MQR}}={\frac {SQE}{SQR}}{\frac {n-p}{k}}={\frac {{\mathit {R}}^{2}}{1-{\mathit {R}}^{2}}}{\frac {n-p}{k}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;F\left(k,n-p\right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bad5e29a8f894835ee486e74aaffcea7119efe9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:59.772ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}F={\frac {MQE}{MQR}}={\frac {SQE}{SQR}}{\frac {n-p}{k}}={\frac {{\mathit {R}}^{2}}{1-{\mathit {R}}^{2}}}{\frac {n-p}{k}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;F\left(k,n-p\right)\end{aligned}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53cb5c19539c32a8805a6bf11879814143f1d6a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.749ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}" loading="lazy"> das multiple <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F" title="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaß</a> darstellt. Die Teststatistik eines globalen F-Tests ist also gegeben durch den Quotienten aus dem „mittleren Quadrat der erklärten Abweichungen“ und dem „<a href="Mittleres_Residuenquadrat" class="mw-redirect" title="Mittleres Residuenquadrat">mittleren Residuenquadrat</a>“. Sie ist unter der Nullhypothese <a href="F-Verteilung" title="F-Verteilung">F-verteilt</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afaa6e61e34040adf430c2d818b718365690ad92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-p)}" loading="lazy"> <a href="Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Freiheitsgraden</a>. Die Berechnung der F-Teststatistik lässt sich in folgender Tafel der <a href="Varianzanalyse" title="Varianzanalyse">Varianzanalyse</a> zusammenfassen:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<th align="right">Variationsquelle

</th>

<th><a href="Abweichungsquadratsumme" class="mw-redirect" title="Abweichungsquadratsumme">Abweichungsquadratsumme</a>

</th>

<th><a href="Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Anzahl der Freiheitsgrade</a>

</th>

<th><a href="Mittleres_Abweichungsquadrat" class="mw-redirect" title="Mittleres Abweichungsquadrat">Mittleres Abweichungsquadrat</a>

</th>

<th><a href="F-Statistik" class="mw-redirect" title="F-Statistik">F-Teststatistik</a>

</th></tr>

<td>Regression (erklärt)</td>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQE=\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {\hat {y}}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/442257c5be496bd74043a48710aab4fe0dae4610.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:23.69ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle SQE=\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {\hat {y}}})^{2}}" loading="lazy"> (<a href="Erkl%C3%A4rte_Quadratsumme" title="Erklärte Quadratsumme">erklärte Quadratsumme</a>)</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle MQE={\frac {SQE}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fff8b49f19d42ed415f95206d46f591ce52ce81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.104ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle MQE={\frac {SQE}{k}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F={\frac {MQE}{MQR}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47829dfdda18a4f8f6751cc258d28ec59448e84a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.732ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle F={\frac {MQE}{MQR}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<td>Residuen (unerklärt)</td>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa210bc75a05dc3f9c421361060121b9be8d15a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.3ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}" loading="lazy"> (<a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a>)</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afaa6e61e34040adf430c2d818b718365690ad92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-p)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle MQR={\frac {SQR}{n-p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3b6950f7a50bcd62288d1145c1f4c3a00702909.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.384ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle MQR={\frac {SQR}{n-p}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<td>Gesamt</td>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQT=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6897add01596e74cc262894ad89f798f97baf7d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.759ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle SQT=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}" loading="lazy"> (<a href="Totale_Quadratsumme" title="Totale Quadratsumme">totale Quadratsumme</a>)</td>

<td>

</td></tr>

</tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorgehen_und_Interpretation">Vorgehen und Interpretation</h2></div>

Überschreitet der empirische F-Wert bei einem <a href="A_priori" title="A priori">a priori</a> festgelegten <a href="Signifikanzniveau" class="mw-redirect" title="Signifikanzniveau">Signifikanzniveau</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> den <a href="Kritischer_Wert_(Statistik)" title="Kritischer Wert (Statistik)">kritischen F-Wert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{(1-\alpha )}(k,n-p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{(1-\alpha )}(k,n-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/419587eb29bfb8171c1d50e0571eaaa854560055.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F_{(1-\alpha )}(k,n-p)}" loading="lazy"> (das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dcc25f05dca60e358d4d22e8342fad5ad7affbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha )}" loading="lazy">-<a href="Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Quantil</a> der F-Verteilung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afaa6e61e34040adf430c2d818b718365690ad92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-p)}" loading="lazy"> Freiheitsgraden) so verwirft man die Nullhypothese:

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F>F_{(1-\alpha )}(k,n-p)\Rightarrow H_{0}\;{\text{verwerfen}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>verwerfen</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F>F_{(1-\alpha )}(k,n-p)\Rightarrow H_{0}\;{\text{verwerfen}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a89a1a5c943d9df492ec9e2549d01bb76e9aae4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:37.532ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F>F_{(1-\alpha )}(k,n-p)\Rightarrow H_{0}\;{\text{verwerfen}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53cb5c19539c32a8805a6bf11879814143f1d6a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.749ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}" loading="lazy"> ist dann ausreichend groß und mindestens eine erklärende Variable trägt vermutlich genügend Information zur Erklärung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> bei. Es ist naheliegend, bei hohen F-Werten die Nullhypothese zu verwerfen, da ein hohes Bestimmtheitsmaß zu einem hohen F-Wert führt. Wenn der Wald-Test für eine oder mehrere unabhängige Variablen die Nullhypothese ablehnt, dann kann man davon ausgehen, dass die zugehörigen Regressionsparameter ungleich Null sind, so dass die Variablen in das Modell mit einbezogen werden sollten. Wenn es nur um eine unabhängige Variable geht (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{i}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8d9cdaff291cba51ea99122dda3e1619eb6b530.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{i}=0}" loading="lazy">  vs.  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\colon \beta _{i}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\colon \beta _{i}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccd3c2c5ec180f3ba0b6619df1abc052184d7da3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.396ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\colon \beta _{i}\neq 0}" loading="lazy">), dann wird ein <a href="T-Test" title="T-Test">t-Test</a> benutzt, um zu überprüfen, ob der Parameter signifikant ist. Für einen einzelnen Parameter stimmt das Ergebnis der Wald-Statistik mit dem Ergebnis des Quadrates der t-Statistik überein.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Mosler310-1">↑ <a href="#cite_ref-Mosler310_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-Mosler310_1-1">b</a> Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 310.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, Rita Künstler, <a href="Iris_Pigeot" title="Iris Pigeot">Iris Pigeot</a>, <a href="Gerhard_Tutz" title="Gerhard Tutz">Gerhard Tutz</a>: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 146.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, Rita Künstler, <a href="Iris_Pigeot" title="Iris Pigeot">Iris Pigeot</a>, <a href="Gerhard_Tutz" title="Gerhard Tutz">Gerhard Tutz</a>: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 33.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>